Упр.1.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.7. Докажите, что:
   а) сумма двух четных чисел есть четное число;
   б) сумма двух нечетных чисел есть четное число;
   в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;
   г) если $$x, y$$ — произвольные натуральные числа, то $$xy(x+y)$$ и $$xy(x-y)$$ — четные числа.

Пусть чётное число имеет вид $$2k$$, а нечётное — вид $$2k+1$$, где $$k \in \mathbb{N}$$.

Ход решения

1. Если $$n=2q_1$$ и $$m=2q_2$$, то

   $$n+m=2q_1+2q_2=2(q_1+q_2).$$

   Значит, $$n+m$$ — чётное число.

2. Если $$n=2q_1+1$$ и $$m=2q_2+1$$, то

   $$n+m=(2q_1+1)+(2q_2+1)=2(q_1+q_2+1).$$

   Следовательно, сумма двух нечётных чисел — чётное число.

3. Если одно число чётное, а другое нечётное, например $$n=2q_1$$ и $$m=2q_2+1$$, то

   $$n+m=2q_1+(2q_2+1)=2(q_1+q_2)+1.$$

   Значит, $$n+m$$ — нечётное число.

4. Пусть $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа.

   Если оба числа чётные: $$x=2q_1,\ y=2q_2$$, тогда

   $$xy(x+y)=2q_1\cdot 2q_2 \cdot (2q_1+2q_2)=8q_1q_2(q_1+q_2),$$

   то есть число чётное.

   Если одно число чётное, а другое нечётное: пусть $$x=2q_1+1,\ y=2q_2$$, тогда

   $$xy(x+y)=(2q_1+1)\cdot 2q_2 \cdot (2q_1+2q_2+1),$$

   это произведение содержит множитель $$2$$, значит, оно чётное.

   Если оба числа нечётные: $$x=2q_1+1,\ y=2q_2+1$$, тогда

   $$xy(x+y)=(2q_1+1)(2q_2+1)\bigl(2q_1+2q_2+2\bigr),$$

   а значит, число чётное.

   Аналогично для $$xy(x-y)$$:

   если $$x=2q_1,\ y=2q_2$$, то

   $$xy(x-y)=2q_1\cdot 2q_2 \cdot (2q_1-2q_2)=8q_1q_2(q_1-q_2),$$

   если одно число чётное, а другое нечётное, то произведение также содержит множитель $$2$$;

   если оба числа нечётные, то

   $$xy(x-y)=(2q_1+1)(2q_2+1)\bigl(2q_1-2q_2\bigr),$$

   и это тоже чётное число.

Ответ

а) чётное; б) чётное; в) нечётное; г) $$xy(x+y)$$ и $$xy(x-y)$$ — чётные числа.