Упр.1.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на $$4$$ равен остатку от деления на $$4$$ числа, образованного его двумя последними цифрами; б) остаток от деления натурального числа на $$25$$ равен остатку от деления на $$25$$ числа, образованного его двумя последними цифрами.

Пусть натуральное число записано в виде $$n=100q+p,$$ где $$p$$ — число, составленное из двух последних цифр числа $$n$$.

Тогда при делении на $$4$$ получаем:

$$n=100q+p=4\cdot 25q+p.$$

Так как $$100$$ делится на $$4,$$ то остаток от деления $$n$$ на $$4$$ определяется только числом $$p$$. Значит, остаток от деления числа $$n$$ на $$4$$ равен остатку от деления на $$4$$ числа, образованного его двумя последними цифрами.

Аналогично, при делении на $$25$$ имеем:

$$n=100q+p=25\cdot 4q+p.$$

Так как $$100$$ делится на $$25,$$ то остаток от деления $$n$$ на $$25$$ определяется только числом $$p$$. Следовательно, остаток от деления числа $$n$$ на $$25$$ равен остатку от деления на $$25$$ числа, образованного его двумя последними цифрами.

Ответ: доказано.