Упр.1.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите, что:
а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа $$n$$, большего 1, есть простое число;
б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа $$n$$ не больше $$\sqrt{n}$$;
в) если $$p_1 < p_2 < \dots < p_n$$ — простые числа, то число $$p_1p_2\dots p_n+1$$ является либо простым числом, либо делится на простое число $$p$$, большее, чем $$p_n$$; г) простых чисел бесконечно много.
а) Пусть $$a$$ — наименьший отличный от единицы делитель натурального числа $$n>1$$.
Предположим, что $$a$$ не простое. Тогда $$a$$ можно представить в виде $$a=a_1a_2$$, где $$1<a_1<a$$ и $$1<a_2<a$$. Так как $$a\mid n$$, то и $$a_1\mid n$$, что противоречит минимальности числа $$a$$. Значит, $$a$$ — простое число.
б) Пусть $$a$$ — наименьший отличный от единицы делитель составного числа $$n$$. Тогда $$n=a\cdot p$$, где $$p\in \mathbb{N}$$ и $$p\ge a$$.
Если бы $$a>\sqrt{n}$$, то из $$p\ge a$$ следовало бы $$p>\sqrt{n}$$, а значит
$$a\cdot p>\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}=n,$$
что невозможно, так как $$a\cdot p=n$$. Следовательно,
$$a\le \sqrt{n}.$$
в) Пусть $$p_1<p_2<\dots<p_n$$ — простые числа и
$$A=p_1p_2\dots p_n+1.$$
Число $$A$$ не делится ни на одно из чисел $$p_1,p_2,\dots,p_n$$, так как при делении на любое из них даёт остаток $$1$$. Значит, либо $$A$$ само простое, либо у него есть простой делитель $$p$$, не входящий в список $$p_1,p_2,\dots,p_n$$. Тогда обязательно $$p>p_n$$.
г) Предположим, что простых чисел конечное число: $$p_1,p_2,\dots,p_n$$. Рассмотрим число
$$A=p_1p_2\dots p_n+1.$$
Оно не делится ни на одно из простых чисел $$p_1,p_2,\dots,p_n$$, значит, имеет простой делитель, не входящий в этот список. Получаем противоречие с тем, что все простые числа уже перечислены. Следовательно, простых чисел бесконечно много.
Ответ
а) Наименьший отличный от 1 делитель натурального числа $$n>1$$ — простое число.
б) Наименьший отличный от 1 делитель составного числа $$n$$ не больше $$\sqrt{n}$$.
в) Число $$p_1p_2\dots p_n+1$$ либо простое, либо делится на простое число, большее $$p_n$.
г) Простых чисел бесконечно много.
