Упр.1.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В числе $$735\_4$$ заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на $$3$$ давало в остатке $$2$$; б) число при делении на $$4$$ давало в остатке $$2$$.

Пусть в числе $$735×4$$ неизвестная цифра равна $$x$$.

а)

Чтобы число при делении на $$3$$ давало остаток $$2$$, сумма его цифр должна давать остаток $$2$$ при делении на $$3$$.

Составим сумму цифр:

$$7+3+5+x+4=19+x.$$

Так как $$19 \equiv 1 \pmod{3}$$, то нужно, чтобы

$$1+x \equiv 2 \pmod{3}.$$

Отсюда

$$x \equiv 1 \pmod{3}.$$

Подходят цифры $$1$$, $$4$$, $$7$$.

б)

Чтобы число при делении на $$4$$ давало остаток $$2$$, его последние две цифры должны образовывать число, которое при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$.

Последние две цифры — $$x4$$, то есть число $$10x+4$$.

Требуется:

$$10x+4 \equiv 2 \pmod{4}.$$

Так как $$10 \equiv 2 \pmod{4}$$, получаем

$$2x+4 \equiv 2 \pmod{4},$$

$$2x \equiv 2 \pmod{4}.$$

Значит, $$x$$ — нечётная цифра: $$1, 3, 5, 7, 9$$.

Ответ: а) $$1, 4, 7$$; б) $$1, 3, 5, 7, 9$$.