Упр.98 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=\sqrt{x}$$ на луче $$[4;+\infty)$$;
б) $$y=-\sqrt{x+2}$$ на отрезке $$[0;3]$$;
в) $$y=-\sqrt{x}+4$$ на полуинтервале $$(0;4]$$;
г) $$y=\sqrt{x-3}+1$$ на отрезке $$[6;9]$$.
Для функции вида $$y=\sqrt{x}$$ на промежутке, где она определена, достаточно сравнить значения на концах отрезка или полуинтервала и учесть монотонность.
$$y=\sqrt{x}$$ на луче $$[4;+\infty)$$.
Функция возрастает, так как $$\sqrt{x}$$ возрастает при $$x\ge 0$$. Поэтому наименьшее значение достигается при $$x=4$$:
$$y_{\min}=\sqrt{4}=2.$$
Наибольшего значения на луче нет, так как при $$x\to+\infty$$ значение $$\sqrt{x}\to+\infty$$.
$$y=-\sqrt{x+2}$$ на отрезке $$[0;3]$$.
Найдём значения на концах отрезка:
$$y(0)=-\sqrt{0+2}=-\sqrt{2},$$
$$y(3)=-\sqrt{3+2}=-\sqrt{5}.$$
Так как функция $$-\sqrt{x+2}$$ убывает, то
$$y_{\max}=-\sqrt{2}, \qquad y_{\min}=-\sqrt{5}.$$
$$y=-\sqrt{x}+4$$ на полуинтервале $$\left(0;4\right].$$
Функция $$-\sqrt{x}+4$$ убывает при $$x>0$$. Наибольшее значение на данном промежутке не достигается, так как точка $$x=0$$ не входит в область рассмотрения.
Минимум достигается при $$x=4$$:
$$y_{\min}=-\sqrt{4}+4=-2+4=2.$$
Наибольшего значения нет.
$$y=\sqrt{x-3}+1$$ на отрезке $$[6;9]$$.
Функция возрастает, поэтому достаточно найти значения на концах отрезка:
$$y(6)=\sqrt{6-3}+1=\sqrt{3}+1,$$
$$y(9)=\sqrt{9-3}+1=\sqrt{6}+1.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\sqrt{3}+1, \qquad y_{\max}=\sqrt{6}+1.$$
Ответ: а) $$y_{\min}=2$$, $$y_{\max}$$ нет; б) $$y_{\min}=-\sqrt{5}$$, $$y_{\max}=-\sqrt{2}$$; в) $$y_{\min}=2$$, $$y_{\max}$$ нет; г) $$y_{\min}=\sqrt{3}+1$$, $$y_{\max}=\sqrt{6}+1$$.
