Упр.93 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке: а) $$y=2x^2+4x-6$$ на отрезке $$[-3;-1]$$; б) $$y=-\frac{1}{3}(x+4)^2$$ на отрезке $$[-7;-4]$$; в) $$y=3x^2-6$$ на луче $$[-1;+\infty)$$; г) $$y=-2x^2+8x$$ на интервале $$(0;4)$$.

а) $$y=2x^2+4x-6$$ на отрезке $$[-3;-1]$$.

Найдём абсциссу вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в вершине:

$$y(-3)=2\cdot(-3)^2+4\cdot(-3)-6=18-12-6=0,$$

$$y(-1)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-6=2-4-6=-8.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-8,$$ $$y_{\max}=0.$$

б) $$y=-\frac13(x+4)^2$$ на отрезке $$[-7;-4]$$.

Абсцисса вершины параболы:

$$x+4=0,\quad x=-4.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-7)=-\frac13(-7+4)^2=-\frac13\cdot(-3)^2=-3,$$

$$y(-4)=-\frac13(-4+4)^2=-\frac13\cdot 0^2=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=0.$$

в) $$y=3x^2-6$$ на луче $$[-1;+\infty).$$

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 3}=0.$$

Так как $$a=3>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит в вершине достигается минимум.

Проверим значение в левой границе луча:

$$y(-1)=3\cdot(-1)^2-6=3-6=-3,$$

$$y(0)=3\cdot 0^2-6=-6.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-6,$$ наибольшего значения на данном луче нет.

г) $$y=-2x^2+8x$$ на интервале $$\left(0;4\right).$$

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2.$$

Найдём значение функции в вершине:

$$y(2)=-2\cdot 2^2+8\cdot 2=-8+16=8.$$

Так как $$a=-2<0,$$ ветви параболы направлены вниз, значит в вершине достигается максимум.

Следовательно, $$y_{\max}=8,$$ наименьшего значения на интервале нет.

Ответ

а) $$y_{\min}=-8,\ y_{\max}=0.$$
б) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=0.$$
в) $$y_{\min}=-6,$$ наибольшего значения нет.
г) $$y_{\max}=8,$$ наименьшего значения нет.