Упр.51 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{x^2+9}{4x^2-1}<0$$; б) $$\frac{10}{1-100x^2}<0$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+9}{4x^2-1}<0.$$

Числитель $$x^2+9>0$$ при любом $$x$$, значит дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$4x^2-1<0.$$

Решим неравенство:

$$4x^2<1$$

$$x^2<\frac14$$

$$\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)<0.$$

Отсюда

$$-\frac12<x<\frac12.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{10}{1-100x^2}<0.$$

Так как $$10>0$$, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$1-100x^2<0.$$

Решим неравенство:

$$100x^2-1>0$$

$$x^2-\frac{1}{100}>0$$

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)\left(x+\frac{1}{10}\right)>0.$$

Произведение положительно, если оба множителя одного знака:

$$x<-\frac{1}{10} \quad \text{или} \quad x>\frac{1}{10}.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac12;\frac12\right)$$;

б) $$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{10};+\infty\right).$$