Упр.8.7 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$2\pi$$ является периодом функции $$y=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$$. б) Докажите, что $$\frac{\pi}{6}$$ является периодом функции $$y=\operatorname{ctg}6x$$.

Проверим, что при прибавлении указанного числа значение функции не изменяется.

а)

Пусть $$f(x)=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$f(x+2\pi)=\tg \frac{x+2\pi}{2}=\tg \left(\frac{x}{2}+\pi\right)=\tg \frac{x}{2}=f(x).$$

Значит, $$2\pi$$ — период функции $$y=\tg \frac{x}{2}.$$

б)

Пусть $$f(x)=\ctg 6x.$$ Тогда

$$f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\ctg \left(6\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\ctg (6x+\pi)=\ctg 6x=f(x).$$

Значит, $$\frac{\pi}{6}$$ — период функции $$y=\ctg 6x.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{6}$$.