Упр.6.5 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях $$t$$ заданное выражение принимает одно и то же значение:
   
   а) $$\frac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}$$;
   
   б) $$\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t$$;
   
   в) $$\frac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}$$;
   
   г) $$\frac{\sin^2 t}{1-\sin^2 t}\cdot\operatorname{ctg}^2 t$$.

а) $$\frac{\sin^4 t-\cos^4 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}=\frac{(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)}{\sin^2 t-\cos^2 t}=1.$$

б) $$\sin^4 t-\cos^4 t+2\cos^2 t=(\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)+2\cos^2 t=\sin^2 t-\cos^2 t+2\cos^2 t=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

в) $$\frac{2-\sin^2 t-\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos^2 t}=\frac{2-(\sin^2 t+\cos^2 t)}{3(\sin^2 t+\cos^2 t)}=\frac{2-1}{3\cdot 1}=\frac13.$$

г) $$\frac{\sin^2 t}{1-\sin^2 t}\cdot \ctg^2 t=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$\frac13$$; г) $$1$$.