Упр.6.11 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

а) Дано: $$\tan t+\frac{1}{\tan t}=\frac{169}{60}$$, $$0

б) Дано: $$\cot t+\frac{1}{\cot t}=\frac{289}{120}$$, $$4\pi

Подробный ответ

а) Из условия

$$\tg t+\frac{1}{\tg t}=\frac{169}{60}, \qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{169}{60}$$

$$\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cos t}=\frac{169}{60}$$

$$\frac{1}{\sin t\cos t}=\frac{169}{60}, \qquad \sin t\cos t=\frac{60}{169}.$$

Тогда

$$\left(\sin t-\cos t\right)^2=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t=1-2\cdot\frac{60}{169}=\frac{49}{169}.$$

Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin t>0$$ и $$\cos t>0,$$ значит

$$\sin t-\cos t=\pm\frac{7}{13}.$$

б) Из условия

$$\ctg t+\frac{1}{\ctg t}=\frac{289}{120}, \qquad 4\pi<t<\frac{9\pi}{2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{\cos t}{\sin t}+\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{289}{120}$$

$$\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cos t}=\frac{289}{120}$$

$$\frac{1}{\sin t\cos t}=\frac{289}{120}, \qquad \sin t\cos t=\frac{120}{289}.$$

Теперь найдём сумму:

$$\left(\sin t+\cos t\right)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t=1+2\cdot\frac{120}{289}=\frac{529}{289}.$$

Следовательно,

$$\sin t+\cos t=\pm\frac{23}{17}.$$

На промежутке $$4\pi<t<\frac{9\pi}{2}$$ угол лежит в I или II четверти, поэтому знак суммы зависит от четверти; по условию берём положительное значение:

$$\sin t+\cos t=\frac{23}{17}.$$