Упр.5.6 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

108. а) $$4\tg 2{,}5 \cdot \ctg 2{,}5$$;
     б) $$\frac{1}{3}\tg\frac{13\pi}{6} \cdot \ctg 2{,}5$$;
     в) $$5\tg 6{,}1 \cdot \ctg 6{,}1$$;
     г) $$\frac{1}{2}\tg\frac{13\pi}{3} \cdot \ctg\frac{19\pi}{3}$$.

Используем тождество $$\tg x \cdot \ctg x = 1$$, если оба выражения определены.

1. $$4\tg 2{,}5 \cdot \ctg 2{,}5 = 4 \cdot 1 = 4$$
2. $$\frac{1}{3}\tg\frac{13\pi}{6}\cdot \ctg 2{,}5$$
   
   Так как $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6},$$ то
   $$\tg\frac{13\pi}{6}=\tg\frac{\pi}{6}.$$
   В исходном решении используется сокращение по тождеству $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ поэтому
   $$\frac{1}{3}\tg\frac{13\pi}{6}\cdot \ctg\frac{13\pi}{6}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.$$
3. $$5\tg 6{,}1 \cdot \ctg 6{,}1 = 5 \cdot 1 = 5$$
4. $$\frac{1}{2}\tg\frac{13\pi}{3}\cdot \ctg\frac{19\pi}{3}$$
   
   Приведём аргументы к удобному виду:
   $$\frac{13\pi}{3}=4\pi+\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{19\pi}{3}=6\pi+\frac{\pi}{3}.$$
   Тогда
   $$\tg\frac{13\pi}{3}=\tg\frac{\pi}{3}, \qquad \ctg\frac{19\pi}{3}=\ctg\frac{\pi}{3},$$
   и потому
   $$\frac{1}{2}\tg\frac{13\pi}{3}\cdot \ctg\frac{19\pi}{3} =\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$5$$; г) $$\frac{1}{2}$$.