Упр.4.34 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. 4-34. Вычислите:
   а) $$\sqrt{\sin^2 3+\sin^2 1-2\sin 3\sin 1}+\sqrt{\sin^2 3+1+2\sin 3}-\sqrt{\sin^2 1+\frac{1}{4}-\sin 1}$$
   б) $$\sqrt{\cos^2 8+\cos^2 9-2\cos 8\cos 9}-\sqrt{\cos^2 9-\cos 9+\frac{1}{4}}+\sqrt{\cos^2 8+1-2\cos 8}$$

а) Преобразуем выражение, выделяя полные квадраты:

$$\sqrt{\sin^2 3+\sin^2 1-2\sin 3\sin 1}+\sqrt{\sin^2 3+1+2\sin 3}-\sqrt{\sin^2 1+\frac14-\sin 1}$$

$$=\sqrt{(\sin 3-\sin 1)^2}+\sqrt{(\sin 3+1)^2}-\sqrt{\left(\sin 1-\frac12\right)^2}$$

$$=|\sin 3-\sin 1|+|\sin 3+1|-\left|\sin 1-\frac12\right|.$$

Так как $$\sin 3<\sin 1,$$ $$\sin 3>-1,$$ $$\sin 1>\frac12,$$ то

$$|\sin 3-\sin 1|=\sin 1-\sin 3,\quad |\sin 3+1|=\sin 3+1,\quad \left|\sin 1-\frac12\right|=\sin 1-\frac12.$$

Тогда

$$\sin 1-\sin 3+\sin 3+1-\sin 1+\frac12=\frac32.$$

б) Аналогично:

$$\sqrt{\cos^2 8+\cos^2 9-2\cos 8\cos 9}-\sqrt{\cos^2 9-\cos 9+\frac14}+\sqrt{\cos^2 8+1-2\cos 8}$$

$$=\sqrt{(\cos 8-\cos 9)^2}-\sqrt{\left(\cos 9-\frac12\right)^2}+\sqrt{(\cos 8-1)^2}$$

$$=|\cos 8-\cos 9|-\left|\cos 9-\frac12\right|+|\cos 8-1|.$$

Так как $$\cos 8>\cos 9,$$ $$\cos 9>\frac12,$$ $$\cos 8<1,$$ то

$$|\cos 8-\cos 9|=\cos 8-\cos 9,\quad \left|\cos 9-\frac12\right|=\cos 9-\frac12,\quad |\cos 8-1|=1-\cos 8.$$

Следовательно,

$$\cos 8-\cos 9-\cos 9+\frac12+1-\cos 8=\frac32.$$

Ответ

а) $$\frac32$$; б) $$\frac32$$.