Упр.4.21 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Используем монотонность функций $$\sin x$$ и $$\cos x$$ на соответствующих промежутках и значения углов на единичной окружности.

а)

Так как при $$x \in [0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, то

$$\cos\frac{\pi}{2} < \cos\frac{2\pi}{3} < \cos\frac{4\pi}{11} < \cos\frac{3\pi}{10} < \cos\frac{\pi}{9} < \cos\frac{5\pi}{7}.$$

Учитывая, что $$\cos(-x)=\cos x$$, получаем:

$$\cos\frac{\pi}{2} < \cos\frac{2\pi}{3} < \cos\frac{4\pi}{11} < \cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right) < \cos\frac{\pi}{9} < \cos\left(-\frac{5\pi}{7}\right).$$

б)

Функция $$\sin x$$ возрастает на промежутке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$, а числа $$3,4,6,7$$ лежат в этом промежутке. Поэтому

$$\sin 3 < \sin 4 < \sin 6 < \sin 7.$$

в)

Сравним значения:

$$\sin 2 \approx 0{,}91,\qquad \sin 3 \approx 0{,}14,\qquad \cos 4 \approx -0{,}65,\qquad \cos 5 \approx 0{,}28.$$

Следовательно,

$$\cos 4 < \sin 3 < \cos 5 < \sin 2.$$

г)

Приведём углы к промежутку $$[-\pi;\pi]$$:

$$\sin(-5\pi)=0,\qquad \sin\left(-\frac{7\pi}{10}\right),\qquad \sin\frac{8\pi}{7},\qquad \sin\frac{5\pi}{11},\qquad \sin\frac{2\pi}{3},\qquad \sin\frac{7\pi}{9}.$$

По значениям на единичной окружности получаем порядок возрастания:

$$\sin\left(-5\pi\right) < \sin\left(-\frac{7\pi}{10}\right) < \sin\frac{8\pi}{7} < \sin\frac{5\pi}{11} < \sin\frac{2\pi}{3} < \sin\frac{7\pi}{9}.$$

д)

Так как $$\cos x$$ убывает на $$[0;\pi]$$, а числа $$3,4,6,7$$ лежат в этом промежутке, то

$$\cos 7 < \cos 6 < \cos 4 < \cos 3.$$

е)

Сравним значения:

$$\cos 2 \approx -0{,}42,\qquad \cos 3 \approx -0{,}99,\qquad \sin 4 \approx -0{,}76,\qquad \sin 5 \approx -0{,}96.$$

Тогда

$$\cos 3 < \sin 5 < \sin 4 < \cos 2.$$

Ответ:

а) $$\cos\frac{\pi}{2} < \cos\frac{2\pi}{3} < \cos\frac{4\pi}{11} < \cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right) < \cos\frac{\pi}{9} < \cos\left(-\frac{5\pi}{7}\right)$$;
б) $$\sin 3 < \sin 4 < \sin 6 < \sin 7$$;
в) $$\cos 4 < \sin 3 < \cos 5 < \sin 2$$;
г) $$\sin(-5\pi) < \sin\left(-\frac{7\pi}{10}\right) < \sin\frac{8\pi}{7} < \sin\frac{5\pi}{11} < \sin\frac{2\pi}{3} < \sin\frac{7\pi}{9}$$;
д) $$\cos 7 < \cos 6 < \cos 4 < \cos 3$$;
е) $$\cos 3 < \sin 5 < \sin 4 < \cos 2$$.