Упр.4.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt{2}\cos t=0$$;
   б) $$|\sin t|=1$$;
   в) $$\sqrt{1-\cos^2 t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   г) $$-\frac{2}{\sqrt{3}}\sin t=\sin^2(3)+\cos^2(3)$$;
   д) $$|\cos t|=1$$;
   е) $$\sqrt{1-\sin^2 t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Используем тождества $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$1-\sin^2 x=\cos^2 x,\quad 1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

1. $$\sin^2\frac{\pi}{8}+\cos^2\frac{\pi}{8}-\sqrt2\cos t=0$$

   $$1-\sqrt2\cos t=0$$

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$|\sin t|=1$$

   Это возможно, когда $$\sin t=1$$ или $$\sin t=-1.$$

   $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Можно записать короче:

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt{1-\cos^2 t}=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Так как $$1-\cos^2 t=\sin^2 t,$$ получаем

   $$\sqrt{\sin^2 t}=\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$|\sin t|=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значит,

   $$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}\quad \text{или} \quad \sin t=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Или компактно:

   $$t=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$-\frac{2}{\sqrt3}\sin t=\sin^2 3+\cos^2 3$$

   Правая часть равна $$1,$$ поэтому

   $$-\frac{2}{\sqrt3}\sin t=1$$

   $$\sin t=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Следовательно,

   $$t=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$|\cos t|=1$$

   Это возможно, когда $$\cos t=1$$ или $$\cos t=-1.$$

   $$t=2\pi n \quad \text{или} \quad t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Можно записать короче:

   $$t=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\sqrt{1-\sin^2 t}=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Так как $$1-\sin^2 t=\cos^2 t,$$ получаем

   $$\sqrt{\cos^2 t}=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$|\cos t|=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Значит,

   $$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}\quad \text{или} \quad \cos t=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Или компактно:

   $$t=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$