Упр.3.12 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. В числе $$563*2$$ замените символ * такой цифрой, чтобы полученное число при делении: а) на 9 давало остаток 2; б) на 3 давало остаток 1; в) на 4 давало остаток 2; г) на 5 давало остаток 4.

Пусть искомая цифра — $$x$$. Тогда число имеет вид $$563×2$$.

1. Чтобы число при делении на $$9$$ давало остаток $$2$$, сумма его цифр должна давать тот же остаток:

   $$5+6+3+x+2=16+x.$$

   Требуется:

   $$16+x \equiv 2 \pmod{9}.$$

   Так как $$16 \equiv 7 \pmod{9}$$, получаем:

   $$7+x \equiv 2 \pmod{9}, \quad x \equiv 4 \pmod{9}.$$

   Значит, $$x=4$$, число $$56342$$.

2. Чтобы число при делении на $$3$$ давало остаток $$1$$, сумма цифр должна давать остаток $$1$$:

   $$16+x \equiv 1 \pmod{3}.$$

   Так как $$16 \equiv 1 \pmod{3}$$, то

   $$1+x \equiv 1 \pmod{3}, \quad x \equiv 0 \pmod{3}.$$

   Подходят цифры $$0, 3, 6, 9$$. Тогда числа:

   $$56302,\ 56332,\ 56362,\ 56392.$$

3. Чтобы число при делении на $$4$$ давало остаток $$2$$, достаточно рассмотреть последние две цифры $$x2$$:

   $$10x+2 \equiv 2 \pmod{4}.$$

   Так как $$10x \equiv 2x \pmod{4}$$, получаем:

   $$2x+2 \equiv 2 \pmod{4}, \quad 2x \equiv 0 \pmod{4}.$$

   Значит, $$x$$ — чётная цифра: $$0, 2, 4, 6, 8$$.

   Подходящие числа:

   $$56302,\ 56322,\ 56342,\ 56362,\ 56382.$$

4. Чтобы число при делении на $$5$$ давало остаток $$4$$, последняя цифра должна быть $$4$$. Но у числа $$563×2$$ последняя цифра всегда $$2$$.

   Следовательно, такого значения цифры $$x$$ не существует.

Ответ: а) $$4$$; б) $$0, 3, 6, 9$$; в) $$0, 2, 4, 6, 8$$; г) решений нет.