Упр.9.50 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4$$.

Пусть $$a=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}, \quad b=\sqrt[3]{20-14\sqrt2}.$$ Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2,$$

а также

$$a^3+b^3=(20+14\sqrt2)+(20-14\sqrt2)=40.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Так как $$a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab,$$ то

$$40=(a+b)\bigl((a+b)^2-3\cdot 2\bigr)=(a+b)\bigl((a+b)^2-6\bigr).$$

Обозначим $$x=a+b.$$ Тогда получаем уравнение

$$x(x^2-6)=40,$$

то есть

$$x^3-6x-40=0.$$

Проверим значение $$x=4$$:

$$4^3-6\cdot 4-40=64-24-40=0.$$

Следовательно, $$x=4$$, значит

$$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4.$$

Ответ: $$4$$.