Упр.9.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   
   1) $$\sqrt{10}-3^{\frac{1}{3}}\cdot\left(19+6\sqrt{10}\right)^{\frac{1}{6}}$$;
   
   2) $$\sqrt{4+2\sqrt{2}}\cdot\left(6-4\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{4}}$$.

1) $$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$$

Заметим, что

$$19+6\sqrt{10}=10+9+6\sqrt{10}=(\sqrt{10}+3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[6]{(\sqrt{10}+3)^2}=\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{10}+3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt[3]{10-9}=\sqrt[3]{1}=1.$$

Ответ: 1.

2) $$\sqrt{4+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$$

Представим первый множитель как корень четвертой степени:

$$\sqrt{4+2\sqrt{2}}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2}.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2(6-4\sqrt{2})}.$$

Вычислим произведение под корнем:

$$(4+2\sqrt{2})^2=16+16\sqrt{2}+8=24+16\sqrt{2},$$

$$(24+16\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})=4(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})=4(36-32)=16.$$

Значит,

$$\sqrt[4]{16}=2.$$

Ответ: 2.