Упр.9.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ и $$b$$ верно равенство:

1. 1) $$\left(a^5b^5\right)^{\frac14}=ab\left(ab\right)^{\frac14}$$;
   2) $$\left(a^4b\right)^{\frac14}=a\left(b^{\frac14}\right)$$;
   3) $$\left(a^4b\right)^{\frac14}=-a\left(b^{\frac14}\right)$$?

1) $$\sqrt[4]{a^5b^5}=ab\sqrt[4]{ab}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt[4]{a^5b^5}=\sqrt[4]{a^4b^4\cdot ab}=\sqrt[4]{a^4b^4}\cdot \sqrt[4]{ab}=|ab|\sqrt[4]{ab}.$$

Чтобы равенство $$|ab|\sqrt[4]{ab}=ab\sqrt[4]{ab}$$ было верным, нужно, чтобы $$ab\ge 0.$$

Тогда $$|ab|=ab,$$ и равенство выполняется.

Ответ: $$a,b\in[0;+\infty)\ \text{или}\ a,b\in(-\infty;0].$$

2) $$\sqrt[4]{a^4b}=a\sqrt[4]{b}.$$

Левая часть равна:

$$\sqrt[4]{a^4b}=\sqrt[4]{a^4}\cdot \sqrt[4]{b}=|a|\sqrt[4]{b}.$$

Чтобы выполнялось равенство $$|a|\sqrt[4]{b}=a\sqrt[4]{b},$$ нужно, чтобы $$a\ge 0.$$

Кроме того, выражение имеет смысл при $$b\ge 0.$$

Ответ: $$a\in[0;+\infty),\ b\in[0;+\infty).$$

3) $$\sqrt[4]{a^4b}=-a\sqrt[4]{b}.$$

Как и в предыдущем пункте,

$$\sqrt[4]{a^4b}=|a|\sqrt[4]{b}.$$

Тогда нужно, чтобы

$$|a|\sqrt[4]{b}=-a\sqrt[4]{b}.$$

Это возможно при $$a\le 0.$$

Также необходимо $$b\ge 0.$$

Ответ: $$a\in(-\infty;0],\ b\in[0;+\infty).$$