Упр.9.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

1) $$y=2x+(x^6)^{1/6}$$;

2) $$y=((x-2)^8)^{1/8}$$;

3) $$y=x^{1/4}\cdot(x^3)^{1/4}$$;

4) $$y=(x^2)^{1/4}\cdot(x^2)^{1/4}$$;

5) $$y=\frac{x^3}{(x^6)^{1/6}}+2$$;

6) $$y=(x^3)^{1/6}\cdot(x^9)^{1/6}$$.

Подробный ответ

1) $$y=2x+\sqrt[6]{x^6}=2x+|x|.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$y=2x+x=3x.$$

Если $$x<0,$$ то $$y=2x-x=x.$$

Значит, график состоит из двух лучей:

$$y= \begin{cases} x, & x<0,\\ 3x, & x\ge 0. \end{cases}$$

2) $$y=\sqrt[8]{(x-2)^8}=|x-2|.$$

Если $$x\ge 2,$$ то $$y=x-2.$$

Если $$x<2,$$ то $$y=2-x.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 2-x, & x<2,\\ x-2, & x\ge 2. \end{cases}$$

3) $$y=\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt[4]{x^3}=\sqrt[4]{x\cdot x^3}=\sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Так как для существования выражения нужно $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x.$$

Следовательно, график — луч прямой $$y=x$$ при $$x\ge 0.$$

4) $$y=\sqrt[4]{x^2}\cdot \sqrt[4]{x^2}=\sqrt[4]{x^4}=|x|.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} -x, & x<0,\\ x, & x\ge 0. \end{cases}$$

5) $$y=\dfrac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}}+2=\dfrac{x^3}{|x|}+2.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда

$$y=\dfrac{x^3}{x}+2=x^2+2.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда

$$y=\dfrac{x^3}{-x}+2=-x^2+2.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} -x^2+2, & x<0,\\ x^2+2, & x>0. \end{cases}$$

6) $$y=\sqrt[6]{x^3}\cdot \sqrt[6]{x^9}=\sqrt[6]{x^{12}}=\sqrt[6]{(x^2)^6}=x^2.$$

При этом нужно $$x^3\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Итак, график — часть параболы $$y=x^2$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

1) $$y= \begin{cases} x, & x<0,\\ 3x, & x\ge 0 \end{cases}$$
2) $$y=|x-2|$$
3) $$y=x,\ x\ge 0$$
4) $$y=|x|$$
5) $$y= \begin{cases} -x^2+2, & x<0,\\ x^2+2, & x>0 \end{cases}$$
6) $$y=x^2,\ x\ge 0$$