Упр.9.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ и $$b$$ выполняется равенство:

1. $$\left(ab\right)^{\frac{1}{4}}=\left(-a\right)^{\frac{1}{4}}\cdot\left(-b\right)^{\frac{1}{4}}$$;
2. $$\left(ab\right)^{\frac{1}{5}}=a^{\frac{1}{5}}\cdot b^{\frac{1}{5}}$$;
3. $$\left(-ab\right)^{\frac{1}{4}}=a^{\frac{1}{4}}\cdot\left(-b\right)^{\frac{1}{4}}$$;
4. $$\left(ab\right)^{\frac{1}{5}}=\left(-a\right)^{\frac{1}{5}}\cdot\left(-b\right)^{\frac{1}{5}}$$?

1) Чтобы равенство

$$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

имело смысл, нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$-a\ge 0,\quad -b\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le 0,\quad b\le 0.$$

При этих значениях

$$\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}=\sqrt[4]{(-a)(-b)}=\sqrt[4]{ab}.$$

Ответ: $$a,b\in(-\infty;0].$$

2) Для равенства

$$\sqrt[4]{-ab}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

нужно, чтобы

$$a\ge 0,\quad -b\ge 0,$$

то есть

$$a\ge 0,\quad b\le 0.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}=\sqrt[4]{a(-b)}=\sqrt[4]{-ab}.$$

Ответ: $$a\in[0;+\infty),\ b\in(-\infty;0].$$

3) Для пятого корня ограничений на знаки нет, поэтому

$$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[5]{b}$$

выполняется при любых действительных $$a$$ и $$b$$.

Ответ: $$a,b\in(-\infty;+\infty).$$

4) Аналогично, для нечетного корня

$$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}$$

выполняется при любых действительных $$a$$ и $$b$$, так как

$$\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}=\sqrt[5]{(-a)(-b)}=\sqrt[5]{ab}.$$

Ответ: $$a,b\in(-\infty;+\infty).$$