Упр.9.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\sqrt{2\sqrt{3}}$$;
2. $$\left(3\left(2^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{\frac{1}{3}}$$;
3. $$\left(a\left(a^{\frac{1}{3}}\right)\right)^{\frac{1}{4}}$$;
4. $$\left(b\left(b^{\frac{1}{6}}\right)\right)^{\frac{1}{5}}$$;
5. $$\left(x^3\left(x^7\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{8}}$$;
6. $$\left(2\sqrt{2\sqrt{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$$.

1) $$\sqrt{2\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{2^2\cdot 3}}=\sqrt[4]{2^2\cdot 3}=\sqrt[4]{12}.$$

2) $$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3\cdot 2}}=\sqrt[9]{3^3\cdot 2}=\sqrt[9]{54}.$$

3) $$\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^3\cdot a}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}}=\sqrt[3]{a}.$$

4) $$\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}=\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^6\cdot b}}=\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}}=\sqrt[30]{b^7}.$$

5) $$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}=\sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3\cdot x^7}}=\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}=\sqrt[24]{x^{16}}=\sqrt[3]{x^2}.$$

6) $$\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{2^2\cdot \sqrt{2^2\cdot 2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{4\sqrt{8}}}}=\sqrt[12]{128}.$$

Ответ: 1) $$\sqrt[4]{12}$$; 2) $$\sqrt[9]{54}$$; 3) $$\sqrt[3]{a}$$; 4) $$\sqrt[30]{b^7}$$; 5) $$\sqrt[3]{x^2}$$; 6) $$\sqrt[12]{128}$$.