Упр.7.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=x^{-6}$$ на промежутке: 1) $$\left[\frac{1}{2};1\right]$$; 2) $$\left[-1;-\frac{1}{2}\right]$$; 3) $$[1;+\text{?})$$.

Функция $$f(x)=x^{-6}=\frac{1}{x^6}$$ при $$x>0$$ убывает, а при $$x<0$$ возрастает. Поэтому на каждом из данных промежутков наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка.

Ход решения

1. На промежутке $$\left[\frac12;1\right]$$:

   $$f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-6}=2^6=64,$$

   $$f(1)=1^{-6}=1.$$

   Следовательно, $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1.$$

2. На промежутке $$\left[-1;-\frac12\right]$$:

   $$f(-1)=(-1)^{-6}=1,$$

   $$f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^{-6}=(-2)^6=64.$$

   Следовательно, $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1.$$

3. На промежутке $$[1;+\infty)$$:

   $$f(1)=1,$$

   при $$x\to +\infty$$ имеем $$f(x)=\frac{1}{x^6}\to 0.$$

   Значит, наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшего значения функция не имеет.

Ответ

1) $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1$$;

2) $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1$$;

3) $$\max f(x)=1,$$ наименьшего значения не существует.