Упр.6.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Сколько корней в зависимости от значения $$a$$ имеет уравнение $$x^8=9a-a^3$$?

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как $$x^8 \ge 0$$ при любом $$x$$.

Рассмотрим выражение:

$$9a-a^3=a(9-a^2)=a(3-a)(3+a).$$

Тогда:

• если $$9a-a^3>0$$, то уравнение $$x^8=9a-a^3$$ имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[8]{9a-a^3}$$;
• если $$9a-a^3=0$$, то уравнение имеет один корень $$x=0$$;
• если $$9a-a^3<0$$, то корней нет.

Найдём, при каких значениях $$a$$ выражение $$9a-a^3$$ положительно, равно нулю или отрицательно.

$$9a-a^3>0 \iff a(9-a^2)>0 \iff a(3-a)(3+a)>0.$$

По знакам множителей получаем:

$$9a-a^3>0 \text{ при } a\in(-\infty;-3)\cup(0;3).$$

$$9a-a^3=0 \text{ при } a\in\{-3,0,3\}.$$

$$9a-a^3<0 \text{ при } a\in(-3;0)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

Два корня, если $$a\in(-\infty;-3)\cup(0;3)$$; один корень, если $$a\in\{-3,0,3\}$$; нет корней, если $$a\in(-3;0)\cup(3;+\infty)$$.