Упр.5.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(3-x)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5)<0$$;
   2) $$(x^2-4)(x^2+x-2)\mathrel{?}0$$;
   3) $$(x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)\mathrel{?}0$$.

1) $$\left(3-x\right)^3\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\left(2x-5\right)<0$$

Преобразуем множитель:

$$\left(3-x\right)^3=-\left(x-3\right)^3,\qquad 2x-5=2\left(x-2{,}5\right).$$

Тогда

$$-\left(x-3\right)^3\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\cdot 2\left(x-2{,}5\right)<0,$$

или

$$\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\left(x-2{,}5\right)\left(x-3\right)>0.$$

Критические точки: $$x=-2,\;1,\;2{,}5,\;3.$$

Так как множитель $$\left(x+2\right)^2$$ всегда неотрицателен и знак не меняет, знак выражения определяется произведением $$\left(x-1\right)\left(x-2{,}5\right)\left(x-3\right).$$

Отсюда

$$x\in(1;2{,}5)\cup(3;+\infty).$$

2) $$\left(x^2-4\right)\left(x^2+x-2\right)\le 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-4=(x-2)(x+2),$$

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Тогда

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\le 0.$$

Множитель $$\left(x+2\right)^2$$ не меняет знак, поэтому рассматриваем

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\le 0.$$

С учётом точки $$x=-2$$, где произведение равно нулю, получаем

$$x\in\{-2\}\cup[1;2].$$

3) $$\left(x^3-4x\right)\left(x^2+2x-8\right)\left(x^2+7x+10\right)\le 0$$

Разложим на множители:

$$x^3-4x=x\left(x-2\right)\left(x+2\right),$$

$$x^2+2x-8=\left(x+4\right)\left(x-2\right),$$

$$x^2+7x+10=\left(x+5\right)\left(x+2\right).$$

Тогда

$$x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\left(x+2\right)\le 0,$$

то есть

$$x\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)^2\le 0.$$

Квадраты $$\left(x-2\right)^2$$ и $$\left(x+2\right)^2$$ не меняют знак, поэтому достаточно решить

$$x\left(x+4\right)\left(x+5\right)\le 0.$$

Корни: $$-5,\,-4,\,0.$$ По знакам получаем

$$x\in(-\infty;-5]\cup[-4;0].$$

Ответ

1) $$x\in(1;2{,}5)\cup(3;+\infty)$$

2) $$x\in\{-2\}\cup[1;2]$$

3) $$x\in(-\infty;-5]\cup[-4;0]$$