Упр.42.46 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• 1) $$2\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+2=0$$
• 3) $$3+\sqrt{3}\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
• 2) $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}=0$$
• 4) $$4\ctg(3x-9)-8=0$$

1) $$2\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+2=0$$

$$\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}\right)=-1$$

$$\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=6\left(-\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=-\frac{7\pi}{2}+12\pi n$$

Ответ: $$x=-\frac{7\pi}{2}+12\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}=0$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Тогда

$$x=2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)=-\pi+4\pi n$$

или

$$x=2\left(\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)=\frac{7\pi}{3}+4\pi n$$

Ответ: $$x=-\pi+4\pi n,\ \frac{7\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$3+\sqrt{3}\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$\tan\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{3}$$

$$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4) $$4\ctg(3x-9)-8=0$$

$$\ctg(3x-9)=2$$

$$3x-9=\operatorname{arcctg}2+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=3+\frac{1}{3}\operatorname{arcctg}2+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=3+\frac{1}{3}\operatorname{arcctg}2+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$