Упр.42.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1. $$2\cos^2(a)-3\sin^2(a)$$;
2. $$4\cos^2(a)-\operatorname{tg}(a)\operatorname{ctg}(a)$$.

1) $$2\cos^2 a-3\sin^2 a=2(1-\sin^2 a)-3\sin^2 a=2-5\sin^2 a.$$

Так как $$0\le \sin^2 a\le 1,$$ то

$$-5\le -5\sin^2 a\le 0,$$

следовательно,

$$-3\le 2-5\sin^2 a\le 2.$$

Значит, наименьшее значение равно $$-3,$$ а наибольшее — $$2.$$

2) $$4\cos^2 a-\tg a\ctg a=4\cos^2 a-1.$$

Это выражение имеет смысл при $$\tg a$$ и $$\ctg a$$, то есть при $$\sin a\ne 0$$ и $$\cos a\ne 0.$$

При этом $$0\le \cos^2 a\le 1,$$ значит

$$0\le 4\cos^2 a\le 4,$$

и потому

$$-1\le 4\cos^2 a-1\le 3.$$

Но значения $$-1$$ и $$3$$ достигаются только при $$\cos a=0$$ и $$\cos^2 a=1$$ соответственно, а в этих случаях выражение не имеет смысла. Поэтому наименьшего и наибольшего значений у выражения нет.

Ответ

1) $$-3,\ 2$$; 2) таких значений нет.