Упр.42.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\sin^3(a)+\cos^3(a)\tg(a)$$;
   2) $$\cos^2(a)-\ctg^2(a)\sin^4(a)$$;
   3) $$\left(\sin^2(a)+\tg^2(a)\sin^2(a)\right)\ctg(a)$$;
   4) $$\frac{1-\left(\sin(a)+\cos(a)\right)^2}{\sin(a)\cos(a)-\ctg(a)}$$.

1) $$\sin^3 a+\cos^3 a\cdot \tg a=\sin^3 a+\cos^3 a\cdot \frac{\sin a}{\cos a}=\sin^3 a+\sin a\cdot \cos^2 a$$

$$=\sin a(\sin^2 a+\cos^2 a)=\sin a.$$

Ответ: $$\sin a.$$

2) $$\cos^2 a-\ctg^2 a\cdot \sin^4 a=\cos^2 a-\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\cdot \sin^4 a$$

$$=\cos^2 a-\sin^2 a\cdot \cos^2 a=\cos^2 a(1-\sin^2 a)=\cos^2 a\cdot \cos^2 a=\cos^4 a.$$

Ответ: $$\cos^4 a.$$

3) $$\left(\sin^2 a+\tg^2 a\cdot \sin^2 a\right)\ctg a=\sin^2 a(1+\tg^2 a)\ctg a$$

$$=\sin^2 a\cdot \frac{1}{\cos^2 a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

Ответ: $$\tg a.$$

4) $$\frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a}=\frac{1-(\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a)}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}}$$

$$=\frac{-2\sin a\cos a}{\sin a\cos a\left(1-\frac{1}{\sin^2 a}\right)}=\frac{-2}{1-\frac{1}{\sin^2 a}}=\frac{2\sin^2 a}{1-\sin^2 a}=\frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a}=2\tg^2 a.$$

Ответ: $$2\tg^2 a.$$