Упр.42.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Найдите множество решений неравенства:

1) $$\frac{(x^2-9)\sqrt{2-x}}{2x+3}\ge 0$$;

2) $$\frac{(x+1)^2\sqrt{x+3}}{16-x^2}\ge 0$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x^2-9)\sqrt{2-x}}{2x+3}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-3)(x+3)\sqrt{2-x}}{2x+3}\ge 0.$$

Область определения:

$$2-x\ge 0,\quad x\le 2;$$

$$2x+3\ne 0,\quad x\ne -\frac32.$$

Так как $$\sqrt{2-x}\ge 0,$$ то при $$x<2$$ знак дроби определяется выражением

$$\frac{(x-3)(x+3)}{2x+3}\ge 0.$$

Учитывая, что $$x\le 2,$$ получаем критические точки $$x=-3,\; x=-\frac32,\; x=2.$$

Исследование знаков даёт:

$$x\in[-3;-\tfrac32)\cup\{2\}.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x+1)^2\sqrt{x+3}}{16-x^2}\le 0.$$

Область определения:

$$x+3\ge 0,\quad x\ge -3;$$

$$16-x^2\ne 0,\quad x\ne -4,\; x\ne 4.$$

Так как $$(x+1)^2\ge 0$$ и $$\sqrt{x+3}\ge 0,$$ то числитель неотрицателен. Чтобы дробь была $$\le 0,$$ нужно, чтобы либо числитель равнялся нулю, либо знаменатель был отрицателен.

1) $$(x+1)^2\sqrt{x+3}=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=-3.$$

2) $$16-x^2<0 \Rightarrow x<-4 \text{ или } x>4.$$

С учётом области определения $$x\ge -3$$ остаётся только $$x>4.$$

Итак,

$$x\in\{-3;-1\}\cup(4;+\infty).$$