Упр.41.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Исследуйте данную функцию и постройте её график:
- $$f(x)=x^3+3x^2$$;
- $$f(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$$;
- $$f(x)=4x-\frac{1}{3}x^3$$;
- $$f(x)=8x^2-7-x^4$$;
- $$f(x)=x-x^3$$.
1) $$f(x)=x^3+3x^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как
$$f(-x)=(-x)^3+3(-x)^2=-x^3+3x^2\ne f(x),\qquad f(-x)\ne -f(x).$$
Нули функции:
$$x^3+3x^2=x^2(x+3)=0,$$
откуда $$x=-3,\; x=0.$$
Знак функции:
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3),$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;0)\cup(0;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2).$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-2;0).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[-2;0].$$
Экстремумы:
$$x_{\max}=-2,\quad f(-2)=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=4,$$
$$x_{\min}=0,\quad f(0)=0.$$
2) $$f(x)=4x-\frac13x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=4(-x)-\frac13(-x)^3=-4x+\frac13x^3=-f(x).$$
Нули функции:
$$4x-\frac13x^3=0,$$
$$x\left(12-x^2\right)=0,$$
откуда $$x=-2\sqrt3,\; x=0,\; x=2\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2\sqrt3)\cup(0;2\sqrt3),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2\sqrt3;0)\cup(2\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=4-x^2.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-2;2),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-2;2],$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$x_{\max}=2,\quad f(2)=4\cdot2-\frac13\cdot2^3=\frac{16}{3},$$
$$x_{\min}=-2,\quad f(-2)=4\cdot(-2)-\frac13\cdot(-2)^3=-\frac{16}{3}.$$
3) $$f(x)=x-x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=(-x)-(-x)^3=-x+x^3=-f(x).$$
Нули функции:
$$x-x^3=0,$$
$$x(1-x^2)=0,$$
откуда $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=1-3x^2.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right],$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$x_{\max}=\frac{\sqrt3}{3},\quad f\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2\sqrt3}{9},$$
$$x_{\min}=-\frac{\sqrt3}{3},\quad f\!\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{2\sqrt3}{9}.$$
4) $$f(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=\frac{(-x)^4}{2}-4(-x)^2=\frac{x^4}{2}-4x^2=f(x).$$
Нули функции:
$$\frac{x^4}{2}-4x^2=0,$$
$$x^2\left(\frac{x^2}{2}-4\right)=0,$$
откуда $$x=-2\sqrt2,\; x=0,\; x=2\sqrt2.$$
Знак функции:
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2\sqrt2;0)\cup(0;2\sqrt2),$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2).$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(2;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;2).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
Экстремумы:
$$x_{\max}=0,\quad f(0)=0,$$
$$x_{\min}=-2,\quad f(-2)=\frac{(-2)^4}{2}-4\cdot(-2)^2=-8,$$
$$x_{\min}=2,\quad f(2)=\frac{2^4}{2}-4\cdot2^2=-8.$$
5) $$f(x)=8x^2-7-x^4$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=8(-x)^2-7-(-x)^4=8x^2-7-x^4=f(x).$$
Нули функции:
$$8x^2-7-x^4=0,$$
$$x^4-8x^2+7=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-8t+7=0,$$
$$D=64-28=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm6}{2},$$
$$t_1=1,\quad t_2=7.$$
Значит,
$$x=\pm1,\quad x=\pm\sqrt7.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\sqrt7;-1)\cup(1;\sqrt7),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt7)\cup(-1;1)\cup(\sqrt7;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=16x-4x^3=4x(4-x^2)=4x(2-x)(2+x).$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(0;2),$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-2;0)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$x_{\max}=-2,\quad f(-2)=8\cdot(-2)^2-7-(-2)^4=9,$$
$$x_{\max}=2,\quad f(2)=8\cdot2^2-7-2^4=9,$$
$$x_{\min}=0,\quad f(0)=-7.$$
