Упр.40.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на указанном промежутке:
   1) $$f(x)=2\sin(2x)+\cos(4x),\quad \left[0;\frac{\pi}{3}\right];$$
   2) $$f(x)=\sqrt{3}\sin(2x)+\cos(2x)-5,\quad \left[0;\frac{\pi}{3}\right];$$
   3) $$f(x)=2\sin(x)+\sin(2x),\quad \left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\sin 2x+\cos 4x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4\cos 2x-4\sin 4x.$$

Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$f'(x)=4\cos 2x-8\sin 2x\cos 2x=4\cos 2x\,(1-2\sin 2x).$$

Критические точки:

$$4\cos 2x\,(1-2\sin 2x)=0.$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\frac12.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$ получаем точки:

$$x=\frac{\pi}{4}, \quad x=\frac{\pi}{12}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(0)=2\sin 0+\cos 0=1,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2\cdot 1-1=1,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12=\sqrt3-\frac12.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32,$$ наименьшее — $$1.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x-5$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\sqrt3\cos 2x-2\sin 2x=2\cos 2x(\sqrt3-\tan 2x).$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$\tan 2x=\sqrt3,$$

откуда

$$2x=\frac{\pi}{3}, \quad x=\frac{\pi}{6}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f(0)=\sqrt3\sin 0+\cos 0-5=-4,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}-5=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12-5=-3,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}-5=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12-5=-4.$$

Значит, наибольшее значение равно $$-3,$$ наименьшее — $$-4.$$

3) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\sin x+\sin 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$2\cos x+2\cos 2x=0,$$

$$2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=0,$$

$$4\cos^2 x+2\cos x-2=0.$$

Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем точки:

$$x=\pi,\quad x=\frac{\pi}{3}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f(0)=0,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$

$$f(\pi)=2\sin\pi+\sin 2\pi=0,$$

$$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=2\cdot(-1)+0=-2.$$

Итак, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$-2.$$

Ответ

1) $$\frac32;\ 1.$$

2) $$-3;\ -4.$$

3) $$\frac{3\sqrt3}{2};\ -2.$$