Упр.40.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $$y=0{,}5x^2$$, $$D(y)=[-3\sqrt{2};\,3\sqrt{2}]$$, а две другие — прямой $$y=9$$. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Подробный ответ

Пусть верхние вершины прямоугольника лежат на прямой $$y=9,$$ а нижние — на параболе $$y=0{,}5x^2.$$

Так как парабола симметрична относительно оси $$Oy,$$ то искомый прямоугольник можно рассматривать симметричным относительно этой оси. Обозначим абсциссу правой нижней вершины через $$x>0.$$ Тогда левая нижняя вершина имеет абсциссу $$-x,$$ а высота прямоугольника равна

$$9-0{,}5x^2.$$

Ширина прямоугольника равна $$2x,$$ поэтому его площадь

$$S(x)=2x\bigl(9-0{,}5x^2\bigr)=18x-x^3.$$

Найдём максимум этой функции на промежутке $$0\le x\le 3\sqrt2,$$ так как из условия $$0{,}5x^2\le 9$$ получаем $$x^2\le 18.$$

Вычислим производную:

$$S'(x)=18-3x^2.$$

Приравняем её к нулю:

$$18-3x^2=0,$$

$$x^2=6,$$

$$x=\sqrt6.$$

Это значение принадлежит указанному промежутку, значит, именно при нём площадь максимальна. Тогда

$$S_{\max}=S(\sqrt6)=18\sqrt6-(\sqrt6)^3=18\sqrt6-6\sqrt6=12\sqrt6.$$