Упр.40.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $$y=12-x^2$$, $$D(y)=[-2\sqrt{3};\,2\sqrt{3}]$$, а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть верхние вершины прямоугольника имеют координаты $$(-x,\;12-x^2)$$ и $$(x,\;12-x^2),$$ где $$0\le x\le 2\sqrt3.$$

Тогда ширина прямоугольника равна $$2x,$$ а высота — $$12-x^2.$$ Поэтому его площадь

$$S(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3.$$

Найдём максимум функции на отрезке $$[0;\,2\sqrt3].$$

$$S'(x)=24-6x^2=6(4-x^2).$$

Критическая точка на данном отрезке: $$x=2.$$

Проверим значение площади в этой точке:

$$S(2)=2\cdot 2\cdot(12-2^2)=4\cdot 8=32.$$

На концах отрезка $$S(0)=0,$$ $$S(2\sqrt3)=0,$$ значит наибольшая площадь достигается при $$x=2.$$

Ответ: $$32.$$