Упр.40.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. В прямоугольный треугольник с гипотенузой $$16\text{ см}$$ и острым углом $$30^\circ$$ вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть $$MN=x$$ см.

Найдём угол $$\angle CAB$$:

$$\angle CAB=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ANM$$:

$$AN=MN\cdot \ctg 60^\circ=\frac{x}{\sqrt{3}},$$

$$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{3}}=\sqrt{\frac{4x^2}{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC=AB\cdot \sin 30^\circ=16\cdot \frac12=8.$$

Тогда

$$MC=AC-AM=8-\frac{2x}{\sqrt{3}}.$$

Из прямоугольного треугольника $$MCL$$:

$$ML=\frac{MC}{\sin 30^\circ}=\frac{8-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{\frac12}=16-\frac{4x}{\sqrt{3}}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=MN\cdot ML=x\left(16-\frac{4x}{\sqrt{3}}\right)=16x-\frac{4x^2}{\sqrt{3}}.$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=16-\frac{8x}{\sqrt{3}}.$$

При максимуме $$S'(x)=0$$, значит

$$16-\frac{8x}{\sqrt{3}}=0,$$

$$x=2\sqrt{3}.$$

Тогда

$$MN=2\sqrt{3}\text{ см},$$

$$ML=16-\frac{4\cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=16-8=8\text{ см}.$$

Ответ: $$2\sqrt{3}\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$.