Упр.4.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Равносильны ли уравнения:
- 1) $$x+6=10$$ и $$2x-1=7$$;
- 5) $$\frac{x-2}{x-2}=0$$ и $$2x^2+3=0$$;
- 2) $$x^2=x$$ и $$x=1$$;
- 6) $$x^2+4x+4=0$$ и $$\frac{x+2}{x-1}=0$$;
- 3) $$x^2+1=0$$ и $$\frac{3}{x-1}=0$$;
- 7) $$\frac{x^2-9}{x-3}=0$$ и $$x+3=0$$;
- 4) $$\frac{x+1}{x+1}=1$$ и $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$$;
- 8) $$\frac{x+1}{x+1}=0$$ и $$\frac{x^2-1}{x^2-1}=0$$?
$$x+6=10 \Rightarrow x=4.$$
$$2x-1=7 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4.$$
Уравнения равносильны.
$$x^2=x \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0,$$
откуда $$x=0$$ или $$x=1.$$
Во втором уравнении $$x=1.$$
Уравнения неравносильны.
$$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1,$$ действительных решений нет.
$$\frac{3}{x-1}=0$$ не имеет решений, так как дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю.
Уравнения равносильны.
$$\frac{x+1}{x+1}=1,\quad x\ne -1.$$
При всех $$x\ne -1$$ это верно, значит множество решений: $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
$$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1,\quad x\in \mathbb{R}.$$
Здесь знаменатель $$x^2+1\ne 0$$ при любом действительном $$x,$$ поэтому равенство верно для всех $$x\in\mathbb{R}.$$
Уравнения неравносильны.
$$\frac{x-2}{x-2}=0,\quad x\ne 2.$$
Но при $$x\ne 2$$ левая часть равна $$1,$$ поэтому решений нет.
$$2x^2+3=0 \Rightarrow x^2=-\frac{3}{2},$$ действительных решений нет.
Уравнения равносильны.
$$x^2+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2.$$
$$\frac{x+2}{x-1}=0,\quad x\ne 1.$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0,\quad x\ne 3.$$
Разложим числитель на множители:
$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=0.$$
При $$x\ne 3$$ получаем:
$$x+3=0 \Rightarrow x=-3.$$
Во втором уравнении $$x+3=0 \Rightarrow x=-3.$$
Уравнения равносильны.
$$\frac{x+1}{x+1}=0,\quad x\ne -1.$$
При $$x\ne -1$$ левая часть равна $$1,$$ значит решений нет.
$$\frac{x^2-1}{x^2-1}=0,\quad x\ne \pm 1.$$
При $$x\ne \pm 1$$ левая часть равна $$1,$$ значит решений нет.
Уравнения равносильны.
