Упр.38.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
- 1) $$f(x)=-x^2+6x-5$$; 3) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2+1$$; 2) $$f(x)=x^3+3x^2-9x$$; 4) $$f(x)=x^4+4x-20$$.
$$f(x)=-x^2+6x-5$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(-x^2+6x-5)’=-2x+6.$$
Определим, где $$f'(x)\ge 0$$:
$$-2x+6\ge 0$$
$$-2x\ge -6$$
$$x\le 3.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty).$$
$$f(x)=x^3+3x^2-9x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^3+3x^2-9x)’=3x^2+6x-9.$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$3x^2+6x-9\ge 0$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$(x+3)(x-1)\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[-3;1].$$
$$f(x)=\frac14x^4-2x^2+1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\frac14x^4-2x^2+1\right)’=x^3-4x.$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$x^3-4x\ge 0$$
$$x(x^2-4)\ge 0$$
$$x(x-2)(x+2)\ge 0.$$
По знакам множителей получаем:
$$x\in[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2].$$
$$f(x)=x^4+4x-20$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x^4+4x-20)’=4x^3+4.$$
Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:
$$4x^3+4\ge 0$$
$$x^3+1\ge 0$$
$$x^3\ge -1$$
$$x\ge -1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1].$$
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;3]$$, убывает на $$[3;+\infty)$$;
2) возрастает на $$(-\infty;-3]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-3;1]$$;
3) возрастает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2]$$;
4) возрастает на $$[-1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$.
