Упр.38.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция является возрастающей:
   1) $$f(x)=10x^3-9x^2+24x-90$$;
   2) $$f(x)=\sin(x)+x^3+x$$.

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=10x^3-9x^2+24x-90$$

$$f'(x)=30x^2-18x+24$$

Преобразуем:

$$f'(x)=6(5x^2-3x+4)$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$5x^2-3x+4$$. Его дискриминант:

$$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 4=9-80=-71<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$5x^2-3x+4>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Значит,

$$f'(x)>0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin x+x^3+x$$

$$f'(x)=\cos x+3x^2+1$$

Так как $$\cos x\ge -1$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, то

$$f'(x)=\cos x+3x^2+1\ge -1+3x^2+1=3x^2\ge 0.$$

Значит, $$f'(x)\ge 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

1) $$f(x)=10x^3-9x^2+24x-90$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.
2) $$f(x)=\sin x+x^3+x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.