Упр.37.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

В каких точках касательные к графику функции $$y=\frac{1}{x}$$ параллельны прямой $$y=-x$$?

Дана функция $$y=\frac{1}{x}.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}.$$

Касательная параллельна прямой $$y=-x,$$ значит, её угловой коэффициент равен $$-1.$$ Тогда

$$-\frac{1}{x^2}=-1,$$

$$\frac{1}{x^2}=1,$$

$$x^2=1,$$

$$x=\pm 1.$$

Найдём соответствующие ординаты:

$$y(-1)=\frac{1}{-1}=-1,$$

$$y(1)=\frac{1}{1}=1.$$

Следовательно, касательные параллельны прямой $$y=-x$$ в точках $$(-1;\,-1)$$ и $$\left(1;\,1\right).$$

Ответ: $$(-1;\,-1),\ (1;\,1).$$