Упр.37.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1. $$f(x)=x^2-3x-3$$;
2. $$f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{?}{3}\right)$$.

1) Найдём точку пересечения графика с осью ординат: $$x_0=0.$$

Вычислим производную:

$$f(x)=x^2-3x-3,$$

$$f'(x)=2x-3.$$

Тогда

$$f'(0)=-3,\qquad f(0)=-3.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=-3(x-0)-3=-3x-3.$$

2) Для функции $$f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$$ точка пересечения с осью ординат соответствует $$x_0=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\right)’=-\frac12\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$f'(0)=-\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{4},$$

$$f(0)=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

$$y=\frac{\sqrt3}{4}(x-0)+\frac12=\frac{\sqrt3}{4}x+\frac12.$$

Ответ: 1) $$y=-3x-3$$; 2) $$y=\frac{\sqrt3}{4}x+\frac12.$$