Упр.37.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Определите, является ли прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ касательной к графику функции $$y=vx$$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{x}.$$

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Чтобы прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ была касательной к графику функции, её угловой коэффициент должен совпадать с производной в точке касания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}.$$

Решаем уравнение:

$$2\sqrt{x}=2$$

$$\sqrt{x}=1$$

$$x=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(1)=\sqrt{1}=1.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0=1$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

$$y=\frac{1}{2}(x-1)+1=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$$

Следовательно, данная прямая является касательной к графику функции.

Ответ

Да, $$x_0=1$$.