Упр.37.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
1) $$f(x)=x^2+3x$$, $$x_0=-1$$;
2) $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$x_0=\frac{1}{2}$$;
3) $$f(x)=4\sqrt{x}-3$$, $$x_0=9$$;
4) $$f(x)=\sin(x)$$, $$x_0=0$$;
5) $$f(x)=\cos(x)$$, $$x_0=?$$;
6) $$f(x)=\operatorname{tg}\left(x-\frac{?}{4}\right)$$, $$x_0=\frac{?}{2}$$;
7) $$f(x)=\frac{x}{x+1}$$, $$x_0=-2$$;
8) $$f(x)=\sqrt{2x+5}$$, $$x_0=2$$.

Подробный ответ

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x_0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

$$f(x)=x^2+3x,\quad x_0=-1.$$
$$f'(x)=2x+3,\quad f'(-1)=1.$$
$$f(-1)=(-1)^2+3\cdot(-1)=1-3=-2.$$
$$y=1\cdot(x+1)-2=x-1.$$
$$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=\frac12.$$
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f’\!\left(\frac12\right)=-4.$$
$$f\!\left(\frac12\right)=2.$$
$$y=-4\left(x-\frac12\right)+2=-4x+4.$$
$$f(x)=4\sqrt{x}-3,\quad x_0=9.$$
$$f'(x)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}},\quad f'(9)=\frac23.$$
$$f(9)=4\cdot3-3=9.$$
$$y=\frac23(x-9)+9=\frac23x+3.$$
$$f(x)=\sin x,\quad x_0=0.$$
$$f'(x)=\cos x,\quad f'(0)=1,\quad f(0)=0.$$
$$y=1\cdot(x-0)+0=x.$$
$$f(x)=\cos x,\quad x_0=\pi.$$
$$f'(x)=-\sin x,\quad f'(\pi)=0,\quad f(\pi)=-1.$$
$$y=0\cdot(x-\pi)-1=-1.$$
$$f(x)=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)},\quad f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}}=2.$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$
$$y=2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1=2x-\pi+1.$$
$$f(x)=\frac{x}{x+1},\quad x_0=-2.$$
$$f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2},\quad f'(-2)=1.$$
$$f(-2)=\frac{-2}{-1}=2.$$
$$y=1\cdot(x+2)+2=x+4.$$
$$f(x)=\sqrt{2x+5},\quad x_0=2.$$
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+5}},\quad f'(2)=\frac13.$$
$$f(2)=3.$$
$$y=\frac13(x-2)+3=\frac13x+\frac73.$$