Упр.36.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите производную функции:
- $$y=\frac{3x+5}{x-8}$$;
- $$y=\frac{2x^2}{1-6x}$$;
- $$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$;
- $$y=\frac{7}{10x-3}$$;
- $$y=\frac{\sin x}{x}$$;
- $$y=\frac{x^2+6x}{x+2}$$.
Используем правило производной частного:
$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$
$$y=\frac{3x+5}{x-8}$$
$$y’=\frac{(3x+5)'(x-8)-(3x+5)(x-8)’}{(x-8)^2}$$
$$y’=\frac{3(x-8)-(3x+5)\cdot 1}{(x-8)^2}=\frac{3x-24-3x-5}{(x-8)^2}=-\frac{29}{(x-8)^2}.$$
$$y=\frac{7}{10x-3}$$
$$y’=\frac{(7)'(10x-3)-7(10x-3)’}{(10x-3)^2}$$
$$y’=\frac{0\cdot(10x-3)-7\cdot 10}{(10x-3)^2}=-\frac{70}{(10x-3)^2}.$$
$$y=\frac{2x^2}{1-6x}$$
$$y’=\frac{(2x^2)'(1-6x)-2x^2(1-6x)’}{(1-6x)^2}$$
$$y’=\frac{4x(1-6x)-2x^2\cdot(-6)}{(1-6x)^2}=\frac{4x-24x^2+12x^2}{(1-6x)^2}=\frac{4x-12x^2}{(1-6x)^2}.$$
$$y=\frac{\sin x}{x}$$
$$y’=\frac{(\sin x)’\cdot x-\sin x\cdot x’}{x^2}$$
$$y’=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$
$$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$
$$y’=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$
$$y’=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}.$$
$$y=\frac{x^2+6x}{x+2}$$
$$y’=\frac{(x^2+6x)'(x+2)-(x^2+6x)(x+2)’}{(x+2)^2}$$
$$y’=\frac{(2x+6)(x+2)-(x^2+6x)\cdot 1}{(x+2)^2}$$
$$y’=\frac{2x^2+4x+6x+12-x^2-6x}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x+12}{(x+2)^2}.$$
Ответ:
1) $$y’=-\frac{29}{(x-8)^2}$$; 2) $$y’=-\frac{70}{(10x-3)^2}$$; 3) $$y’=\frac{4x-12x^2}{(1-6x)^2}$$; 4) $$y’=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$; 5) $$y’=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$$; 6) $$y’=\frac{x^2+4x+12}{(x+2)^2}$$.
