Упр.36.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите:

1. $$f'(0)$$, если $$f(x)=v((x-1)(2x-1))$$;
2. $$f'(?/3)$$, если $$f(x)=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$.

1) $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}.$$

Обозначим $$u=\frac{x-1}{2x-1},$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$ По правилу производной сложной функции:

$$f'(x)=u’\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}.$$

Найдём $$u’$$:

$$u’=\frac{(x-1)'(2x-1)-(x-1)(2x-1)’}{(2x-1)^2} =\frac{1\cdot(2x-1)-(x-1)\cdot 2}{(2x-1)^2} =\frac{1}{(2x-1)^2}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{(2x-1)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}}.$$

Подставим $$x=0$$:

$$f'(0)=\frac{1}{(2\cdot 0-1)^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{0-1}{2\cdot 0-1}}} =\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1}} =\frac{1}{2}.$$

2) $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}.$$

Пусть $$u=\sin\frac{x}{2},$$ тогда $$f(x)=u^2.$$ По правилу цепочки:

$$f'(x)=2u\cdot u’=2\sin\frac{x}{2}\cdot \left(\sin\frac{x}{2}\right)’.$$

Так как

$$\left(\sin\frac{x}{2}\right)’=\cos\frac{x}{2}\cdot \frac12,$$

то

$$f'(x)=2\sin\frac{x}{2}\cdot \cos\frac{x}{2}\cdot \frac12 =\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} =\frac12\sin x.$$

Теперь подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

$$f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{3} =\frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{4}.$$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$\frac{\sqrt3}{4}$$.