Упр.36.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Ученик предлагает находить производную функции $$y=\sin(2x)$$ так: 1) делает замену $$2x=t$$ и получает функцию $$y=\sin(t)$$; 2) далее пишет: $$y’=(\sin t)’=\cos(t)$$; 3) потом подставляет значение $$2x=t$$ и делает вывод, что $$(\sin 2x)’=\cos(2x)$$. В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика в том, что он не учёл правило дифференцирования сложной функции.

Функция $$y=\sin 2x$$ является составной: если положить $$t=2x,$$ то $$y=\sin t.$$ Тогда нужно дифференцировать не только внешнюю функцию, но и внутреннюю:

$$y’=(\sin t)’ \cdot t’=\cos t \cdot 2=2\cos 2x.$$

Значит, ученик забыл умножить на производную внутренней функции $$2x,$$ поэтому его ответ $$\cos 2x$$ неверен.

Ответ

Ошибка в том, что не найдена производная внутренней функции $$2x$$; правильно: $$\left(\sin 2x\right)’=2\cos 2x.$$