Упр.36.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ проиллюстрируйте примерами.

Да, могут. Если две функции отличаются на постоянную, то их производные равны, потому что производная постоянной равна нулю.

Пусть

$$f(x)=p(x), \qquad g(x)=p(x)+C,\quad C\in \mathbb{R}.$$

Тогда

$$f'(x)=p'(x),$$

$$g'(x)=p'(x)+(C)’=p'(x)+0=p'(x)=f'(x).$$

Значит, разные функции могут иметь одинаковые производные.

Например:

$$y=x^2 \quad \text{и} \quad y=x^2+5,$$

тогда

$$y’=2x \quad \text{и} \quad y’=2x.$$

Или:

$$y=2x \quad \text{и} \quad y=2x+4,$$

тогда

$$y’=2 \quad \text{и} \quad y’=2.$$

Ответ: да, могут; например, функции, отличающиеся на постоянную, имеют одинаковые производные.