Упр.35.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f в точке с абсциссой $$x_0$$:
1) $$f(x)=x^4$$, $$x_0=-2$$;
3) $$f(x)=\frac{1}{x^3}$$, $$x_0=-3$$;
2) $$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$$, $$x_0=27$$;
4) $$f(x)=\cos(x)$$, $$x_0=-\frac{?}{2}$$.

1. $$f(x)=x^4,\quad x_0=-2.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3.$$

   Тогда угловой коэффициент касательной:

   $$k=f'(-2)=4\cdot(-2)^3=4\cdot(-8)=-32.$$

2. $$f(x)=\sqrt[3]{x},\quad x_0=27.$$

   Запишем функцию в виде степени:

   $$f(x)=x^{\frac13}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac13x^{-\frac23}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

   Подставим $$x_0=27$$:

   $$k=f'(27)=\frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{3\cdot 9}=\frac{1}{27}.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x^3},\quad x_0=-3.$$

   Представим функцию как степень:

   $$f(x)=x^{-3}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$

   Подставим $$x_0=-3$$:

   $$k=f'(-3)=-\frac{3}{(-3)^4}=-\frac{3}{81}=-\frac{1}{27}.$$

4. $$f(x)=\cos x,\quad x_0=-\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\sin x.$$

   Тогда

   $$k=f’\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Ответ: 1) $$-32$$; 2) $$\frac{1}{27}$$; 3) $$-\frac{1}{27}$$; 4) $$1$$.