Упр.35.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Пользуясь определением производной, найдите $$f'(x)$$, если: 1) $$f(x)=\frac{3}{x}$$; 2) $$f(x)=4-x^2$$.

1) Найдём производную по определению:

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{3}{x+\Delta x}-\frac{3}{x} =\frac{3x-3(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)} =\frac{-3\Delta x}{x(x+\Delta x)}.$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-3}{x(x+\Delta x)}.$$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-3}{x(x+\Delta x)} =-\frac{3}{x^2}.$$

2) Аналогично:

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(4-(x+\Delta x)^2)-(4-x^2)$$
$$=4-x^2-2x\Delta x-(\Delta x)^2-4+x^2 =-2x\Delta x-(\Delta x)^2.$$
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=-2x-\Delta x.$$
$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(-2x-\Delta x)=-2x.$$

Ответ: 1) $$-\frac{3}{x^2}$$; 2) $$-2x$$.