Упр.33.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Построив график функции $$f$$, выясните, имеет ли функция $$f$$ предел в точке $$x_0$$:

1) $$f(x)=2x+1$$, $$x_0=1$$;

2) $$f(x)=2x+1$$, $$x_0=-2$$;

3) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$$, $$x_0=-1$$;

5) $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$$, $$x_0=2$$;

4) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$$, $$x_0=-3$$;

6) $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$$, $$x_0=1$$.

1) $$f(x)=2x+1,\quad x_0=1.$$

Функция линейная, значит, непрерывна при всех $$x.$$ Поэтому

$$\lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot 1+1=3.$$

Ответ: имеет.

2) $$f(x)=2x+1,\quad x_0=-2.$$

Так как функция непрерывна, то

$$\lim_{x\to -2}(2x+1)=2\cdot(-2)+1=-3.$$

Ответ: имеет.

3) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-1.$$

Область определения: $$x\ne -3.$$ При $$x\ne -3$$ имеем

$$\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -1}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -1}(x-3)=-1-3=-4.$$

Ответ: имеет.

4) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x+3},\quad x_0=-3.$$

В точке $$x=-3$$ функция не определена, но предел можно найти по упрощённому выражению:

$$\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\quad x\ne -3.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=-3-3=-6.$$

Ответ: имеет.

5) $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=2.$$

Если $$x>1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ значит

$$f(x)=\frac{x-1}{x-1}=1.$$

Так как $$2>1,$$ в окрестности точки $$x_0=2$$ функция равна $$1,$$ поэтому

$$\lim_{x\to 2}\frac{|x-1|}{x-1}=1.$$

Ответ: имеет.

6) $$f(x)=\frac{|x-1|}{x-1},\quad x_0=1.$$

При $$x>1$$ имеем $$f(x)=1,$$ а при $$x<1$$ имеем $$f(x)=-1.$$

Тогда

$$\lim_{x\to 1-}\frac{|x-1|}{x-1}=-1,\qquad \lim_{x\to 1+}\frac{|x-1|}{x-1}=1.$$

Односторонние пределы не равны, значит, общего предела в точке $$x_0=1$$ нет.

Ответ: не имеет.