Упр.32.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенства:

1. $$\frac{(x-1)(x+3)^3}{(x+2)^2}?0$$;
2. $$\frac{x^2-5x+3}{x^2-6x+8}?0$$;
3. $$\frac{(x+1)(x-3)^2}{x+4}?0$$.

1) $$\frac{(x-1)(x+3)^3}{(x+2)^2}\le 0$$

Так как $$\left(x+3\right)^3=\left(x+3\right)\left(x+3\right)^2,$$ а $$\left(x+3\right)^2\ge 0,$$ то знак дроби определяется выражением $$\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)^2}.$$

При этом $$x\ne -2.$$ Поскольку $$\left(x+2\right)^2>0$$ при $$x\ne -2,$$ получаем

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)\le 0,\quad x\ne -2.$$

Отсюда

$$-3\le x\le 1,\quad x\ne -2.$$

Ответ: $$x\in[-3;-2)\cup(-2;1].$$

2) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+8}\ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-4)}\ge 0,\quad x\ne 2,\; x\ne 4.$$

Сокращаем на $$x-4$$, учитывая, что $$x=4$$ не входит в область допустимых значений:

$$\frac{x-1}{x-2}\ge 0,\quad x\ne 4.$$

Решаем методом интервалов:

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x>2.$$

С учётом ограничений $$x\ne 2$$ и $$x\ne 4$$ получаем

Ответ: $$x\in(-\infty;1]\cup(2;4)\cup(4;+\infty).$$

3) $$\frac{(x+1)(x-3)^2}{x+4}\le 0$$

Область допустимых значений: $$x\ne -4.$$

Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется выражением $$\frac{x+1}{x+4}.$$

Тогда

$$\frac{x+1}{x+4}\le 0,\quad x\ne 3,\; x\ne -4.$$

Решаем неравенство методом интервалов:

$$-4<x\le -1.$$

Кроме того, из-за множителя $$\left(x-3\right)^2$$ точка $$x=3$$ тоже является нулём числителя и подходит к неравенству, если не нарушает ОДЗ. Значит, её нужно добавить.

Ответ: $$x\in(-4;-1]\cup\{3\}.$$