Упр.31.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• 1) $$\sin(2x)+2\sin(x)=\cos(x)+1$$;
• 6) $$\sin(4x)+2\cos^2(x)=1$$;
• 2) $$1+\cos(8x)=\cos(4x)$$;
• 7) $$\cos(x)-\cos(3x)=3\sin^2(x)$$;
• 3) $$\cos(x)+\cos(3x)+\cos(2x)=0$$;
• 8) $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)+\sin(4x)=0$$;
• 4) $$2\sin(2x)+\cos(3x)-\cos(x)=0$$;
• 9) $$\cos(7x)+\sin(8x)=\cos(3x)-\sin(2x)$$;
• 5) $$\cos(x)-\cos(3x)+\sin(x)=0$$;
• 10) $$\sqrt{3}\sin(2x)+\cos(5x)-\cos(9x)=0$$.

1) $$\sin 2x+2\sin x=\cos x+1$$

$$2\sin x\cos x+2\sin x-\cos x-1=0$$

$$2\sin x(\cos x+1)-(\cos x+1)=0$$

$$(\cos x+1)(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$

$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$

$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \pi+2\pi n.$$

2) $$1+\cos 8x=\cos 4x$$

$$1+(2\cos^2 4x-1)-\cos 4x=0$$

$$2\cos^2 4x-\cos 4x=0$$

$$\cos 4x(2\cos 4x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 4x-1=0.$$

$$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},$$

$$\cos 4x=\frac12 \Rightarrow 4x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

3) $$\cos x+\cos 3x+\cos 2x=0$$

$$\bigl(\cos 3x+\cos x\bigr)+\cos 2x=0$$

$$2\cos 2x\cos x+\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(2\cos x+1)=0$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

$$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

4) $$2\sin 2x+\cos 3x-\cos x=0$$

$$2\sin 2x+(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$2\sin 2x-2\sin 2x\sin x=0$$

$$2\sin 2x(1-\sin x)=0$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2}.$$

5) $$\cos x-\cos 3x+\sin x=0$$

$$\sin x-(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$\sin x+2\sin 2x\sin x=0$$

$$\sin x(1+2\sin 2x)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin 2x=0.$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

$$\sin 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

6) $$\sin 4x+2\cos^2 x=1$$

$$\sin 4x+(2\cos^2 x-1)=0$$

$$2\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(2\sin 2x+1)=0$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x+1=0.$$

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$$

$$\sin 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

7) $$\cos x-\cos 3x=3\sin^2 x$$

$$3\sin^2 x+(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$3\sin^2 x-2\sin 2x\sin x=0$$

$$3\sin^2 x-4\sin^2 x\cos x=0$$

$$\sin^2 x(3-4\cos x)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3-4\cos x=0.$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

$$\cos x=\frac34 \Rightarrow x=\pm\arccos\frac34+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \pm\arccos\frac34+2\pi n.$$

8) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$

$$\bigl(\sin 3x+\sin x\bigr)+\bigl(\sin 4x+\sin 2x\bigr)=0$$

$$2\sin 2x\cos x+2\sin 3x\cos x=0$$

$$2\cos x(\sin 3x+\sin 2x)=0$$

$$4\cos x\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=0.$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$\sin\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{5},$$

$$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{2\pi n}{5},\ \pi+2\pi n.$$

9) $$\cos 7x+\sin 8x=\cos 3x-\sin 2x$$

$$\bigl(\sin 8x+\sin 2x\bigr)+\bigl(\cos 7x-\cos 3x\bigr)=0$$

$$2\sin 5x\cos 3x-2\sin 5x\sin 2x=0$$

$$2\sin 5x(\cos 3x-\sin 2x)=0$$

$$2\sin 5x\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-2\sin 5x\sin 2x=0$$

$$-2\sin 5x\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

$$\sin 5x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5},$$

$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},$$

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$

10) $$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 5x-\cos 9x=0$$

$$\sqrt{3}\sin 2x-(\cos 9x-\cos 5x)=0$$

$$\sqrt{3}\sin 2x+2\sin 2x\sin 7x=0$$

$$\sin 2x(\sqrt{3}+2\sin 7x)=0$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}+2\sin 7x=0.$$

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$

$$\sin 7x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 7x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{21}+\frac{\pi n}{7}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{21}+\frac{\pi n}{7}.$$