Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\sin(7x)+\sin(x)=0$$; 3) $$\operatorname{tg}^3(x)+\operatorname{tg}^2(x)-2\operatorname{tg}(x)-2=0$$; 2) $$\cos(9x)-\cos(x)=0$$; 4) $$\sqrt{2}\cos(x)\operatorname{ctg}(x)-3\sqrt{2}\cos(x)+\operatorname{ctg}(x)-3=0$$.
1) $$\sin 7x+\sin x=0$$
Используем формулу суммы синусов:
$$2\sin \frac{7x+x}{2}\cdot \cos \frac{7x-x}{2}=0,$$
то есть
$$2\sin 4x\cdot \cos 3x=0.$$
Отсюда
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$
1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}.$$
2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}.$$
2) $$\cos 9x-\cos x=0$$
Применим формулу разности косинусов:
$$-2\sin \frac{9x-x}{2}\cdot \sin \frac{9x+x}{2}=0,$$
то есть
$$-2\sin 4x\cdot \sin 5x=0.$$
Следовательно,
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0.$$
1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}.$$
2) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}.$$
Ответ:
$$x=\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi n}{5},\ n\in \mathbb{Z}.$$
3) $$\tg^3 x+\tg^2 x-2\tg x-2=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\tg^2 x(\tg x+1)-2(\tg x+1)=0,$$
$$(\tg^2 x-2)(\tg x+1)=0.$$
Отсюда
$$\tg^2 x-2=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0.$$
1) $$\tg^2 x=2 \Rightarrow \tg x=\pm \sqrt{2} \Rightarrow x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n.$$
2) $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Итак,
$$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
4) $$\sqrt{2}\cos x\cdot \ctg x-3\sqrt{2}\cos x+\ctg x-3=0$$
Сгруппируем:
$$\ctg x(\sqrt{2}\cos x+1)-3(\sqrt{2}\cos x+1)=0,$$
$$(\ctg x-3)(\sqrt{2}\cos x+1)=0.$$
Отсюда
$$\ctg x-3=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{2}\cos x+1=0.$$
1) $$\ctg x=3 \Rightarrow x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n.$$
2) $$\sqrt{2}\cos x=-1 \Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Ответ:
$$x=\operatorname{arcctg} 3+\pi n,\ \pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
